Joonhee Lee

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Rita Pierson

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#external_validity #LATE #Exclusion_restriction #Monotonicity #complier #defier

LATE

늦었다 (*작성당일 기말고사)

Instrumental Variables

Heterogeneous Effect

앞선 장에서 (constant effect), IV를 통한 treatment effect를 추정해볼수 있었다.

\[\displaylines{ Y_{0i}=\alpha+\eta_i\\ Y_{1i}-Y_{0i}=\rho\\ Y_i=Y_{0i}+D_i(Y_{1i}-Y_{0i})=\alpha+\rho D_i+\eta_i \\\\ \rho=\frac{Cov(Y,Z)}{Cov(D,Z)} }\]

하지만 $\rho$, 즉 $Y_{1i}-Y_{0i}$가 누구에게나 동일하게 적용되지 않을 수도 있을 것이다. 즉, 각자에게 이질적인 효과 (특히 treatment가 이루어진 subset 그룹에 대해서), Heterogeneous effect를 확인해보는 섹션이 될 것이다.

External Validity is the predictive value of internally valid causal estimates in contexts beyond those generating the estimates

LATE (Local Average Treatment Effect)

heterogeneous한 효과를 측정하는데에 있어 사용되는 프레임워크는 LATE framework이다.

LATE framework는 매우 중요한 4가지의 가정들을 기반으로 하고 있는데 이는 아래와 같다.

\[\displaylines{ \text{LATE Assumptions}\\ \begin{cases} \text{1. Independence} & \{Y_i(D_{1i},1), Y_i(D_{0i},0), D_{1i}, D_{0} \}\perp\!\!\!\perp z_i\\ \text{2. Exclusion Restriction} & Y_i(d,0)=Y_i(d,1) \\ \text{3. Existence of First Stage} & E[D_{1i}-D_{0i}]\neq 0\\ \text{4. Monotonicity} & D_{1i}-D_{0i}\geq0\\ \end{cases} \\\\ \text{Then, }\quad \frac{E[Y_i|Z_i=1]-E[Y_i|Z_i=0]}{E[D_i|Z_i=1]-E[D_i|Z_i=0]}=E[Y_{1i}-Y_{0i}|D_{1i}>D_{0i}] }\]

증명 및 유도는 아래와 같다.

\[\displaylines{ Y=Y(0,z)-[Y(1,z)-Y(0,z)]D\\ =Y_0+(Y_1-Y_0)D \quad \text{by A2} \\\\ E[Y|z=1]=E[Y_0+(Y_1-Y_0)D |z=1]\\ =E[Y_0+(Y_1-Y_0)D_1] \quad \text{by A1}\\ E[Y|z=0]=E[Y_0+(Y_1-Y_0)D_0] \\\\ \text{Then, }\quad E[Y|z=1]-E[Y|z=0]=E[(Y_1-Y_0)(D_1-D_0)] \\\\ \text{by A4, }\quad D_1-D_0 \geq 0 \\\\ \text{Thus, }\quad E[(Y_1-Y_0)(D_1-D_0)]= \\ E[Y_1-Y_0|D_1>D_0]*P[D_1>D_0]\\ +0*E[Y_1-Y_0|D_1=D_0]*P[D_1=D_0]\\ +E[Y_1-Y_0|D_1<D_0]*P[D_1<D_0]\\ =E[Y_1-Y_0|D_1>D_0]*P[D_1>D_0] \\\\ \text{Thus, }\quad E[D|z=1]-E[D|z=0]=E[D_{1i}|z=1]-E[D_{0i}|z=0]\\ =E[D_{1i}-D_{0i}] \quad \text{by A1} \\ =P[D_1>D_0]*1+P[D_1=D_0]*0+P[D_1<D_0]*(-1) \neq 0 \quad \text{by A4 and A3} \\\\ \text{Thus, WALD}=\frac{E[Y_1-Y_0|D_1>D_0]*P[D_1>D_0]}{P[D_1>D_0]}=E[Y_1-Y_0|D_1>D_0] }\]

위와 같이 $D_1>D_0$이라는 subset의 그룹에 대해서만 treatment effect의 크기를 확인할 수 있는 것이다. 이 그룹을 우리는 complier 그룹이라 부른다.

The Compliant Subpopulation

sub-population $D_{0i}=0$ $D_{0i}=1$
$D_{1i}=1$ Complier Always-Taker
$D_{1i}=0$ Never-Taker Defier
\[\displaylines{D_i=D_{0i}+(D_{1i}-D_{0i})Z_i \\\\ \text{Then,}\quad \{D_i=1\}=\{D_{1i}=D_{0i}=1\} \cup \{\{D_{1i}-D_{0i}=1\}\cap\{Z_i=1\}\}\\ \text{which is,}\quad \{\text{treated}\}=\{\text{always-taker}\} \cup \{\text{compliers assigned }Z_i=1\}\\}\]

TOT는 위의 treated 그룹에 대한 weighted average of effects라고 할 수 있다.

IV in Randomized Trials

실험 상에 도의적인 측면을 고려치 않을때, always-taker를 실험 상에서 control하는 것은 그렇게 어렵지 않기 때문에, 곧 TOT를 구할수 있다고 할 수 있다.

How many Complier You Got?

\[\displaylines{P[D_{1i}>D_{0i}|D_i=1]=\frac{P[(D_{1i}>D_{0i})\cap(D_i=1)]}{P[D_{1i}=1]}\\ =\frac{P[(D_i=1)|(D_{1i}>D_{0i})]P[(D_{1i}>D_{0i})]}{P[D_{1i}=1]}\\ =\frac{P(Z_i=1)(E(D_i|Z_i=1)-E(D_i|Z_i=0))}{P[D_{1i}=1]}}\]

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참고